Uma solução para o paradoxo de Zenão sem o uso de infinitos

Aqui apresentarei o paradoxo de Zenão, e uma solução para o mesmo proposta por R. L. Goodstein, na introdução do seu livro “Constructive Formalism“. Eu não tive acesso a uma visualização completa deste livro, mas o trecho em que ele apresenta referida solução está transcrito integralmente em um livro que tenho, de nome “Computabilidade, Funções Computáveis, Lógica e os Fundamentos da Matemática“, por Walter Carnielli e Richard L. Epstein.

Um dos paradoxos de Zenão envolve Aquiles e a tartaruga: se Aquiles competir em uma corrida com uma tartaruga e sendo que a tartaruga começa na frente, Aquiles nunca alcançará a tartaruga, não importa quão rápido ele corra ou devagar que a tartaruga rasteje, uma vez que “quando Aquiles chega na posição inicial da tartaruga, ela terá avançado um pouco; quando Aquiles cobrir esta distância, a tartaruga terá ido um pouco mais adiante e assim indefinidamente, de tal forma que Aquiles nunca alcança a tartaruga” (CARNIELLI; EPSTEIN, p. 25-26). Logo, o movimento é impossível se espaço e tempo forem infinitamente divisíveis (CARNIELLI; EPSTEIN, p. 26)

Abaixo uma imagem para visualizar isso melhor:

aquiles

(retirado do sítio virtual do Instituto de Educação da Universidade de Lisboa)

Você também pode conceber o que esse paradoxo traz à tona como o seguinte: Entre dois pontos, A e B, existe uma certa distância. Digamos que esta fosse de 10 metros. Para você alcançar os 10 metros, você tem de passar pela metade dessa distância, 5 metros. Só que, para percorrer dos 5 metros para os 10 metros, você tem de passar pela metade dessa distância, 2 metros e 50 centímetros. Mas novamente, você teria de percorrer metade… Se você quiser ir calculando de metade para metade da distância, você logo verá que existem infinitos pontos que irão se configurar como “metade da distância”. Então, por mais que ele se mova para cada vez mais perto de B, ele nunca atinge B.

Goodstein coloca isso de maneira mais precisa: “passando de uma posição A para uma outra B, um corpo deve passar por um ponto central A1 de AB, e então pelo ponto central A2 de A1B, e então pelo ponto central de A3 de A2B e assim por diante. Assim o movimento de A a B pode ser considerado como consistindo de um número ilimitado (infinito) de estágios, a saber, o estágio de atingir A1, o estágio de atingir A2, o estágio de atingir A3 e assim por diante. Depois de qualquer estágio An segue o estágio An+1 e, não importa por quantos estágios passemos, não atingimos B e assim nunca atingimos B. Mas se o movimento de um ponto A para qualquer ponto B não é possível, então nenhum movimento é possível” (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 37)

Você pode solucionar este paradoxo por intermédio do cálculo em termos de limite, mas isso irá envolver noções de infinito (CARNIELLI; EPSTEIN, p. 26-27). Goodstein tem uma interessante solução que não envolve infinitos, mas que trabalha com a confusão relacionada à expressão “mover-se de um ponto para outro”.

Primeiro, Goodstein afirma que “um processo infinito é, por definição, um processo no qual cada estágio é seguido por outro, tal qual cada numeral é seguido por outro (…). Um processo infinito é, portanto, um processo infindável, um processo que não permite a possibilidade de ser completado. Um processo infinito completado é uma contradição em termos (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 37). Por conta disso, Goodstein não aceita que o processo de ir de A para B seja um processo infinito completado.

Ele dá um exemplo de como a experiência familiar dos corpos físicos mudando de posição é diferente daquilo descrito por Zenão, uma vez que, se quisermos destacar pontos no caminho por meio de algum objeto, não o faremos infinitamente, mas sim pontos em quantidade finita:

“Imagine um homem correndo ao longo de uma pista de corrida, através da qual fitas são enfileiradas a pouca distância do chão. Podemos supor que a pista tem 1000 metros e que começamos a enfileirar as fitas na marca dos 500 metros. Se chamamos os extremos da pista de A, B e a marca dos 500 metros de A1 , então A2 é o ponto central de A1B, e assim por diante, como mencionado acima. Em cada um dos pontos A1, A2, A3 , … uma fita é colocada cruzando a pista. Conforme o homem correr de A para B, ele romperá todas as fitas colocadas e se supusermos que uma fita foi posta em cada um dos pontos de A1, A2, A3 , … então o corredor terá rompido um número infinito de fitas. Argumentando desta forma teremos apenas apresentado a dificuldade sob uma luz mais óbvia, já que nos confrontamos com a tarefa de colocar um número ilimitado de fitas, ou, vendo sobre um outro ponto de vista, de isolar um número ilimitado de pontos (….)

‘Ao contar de 0 a 100, uma pessoa pode dizer todos os números naturais neste intervalo, ou apenas de dez em dez, ou ainda apenas “cinquenta”, “cem”, ou pode dizer “meio, um, um e meio, dois”, e assim por diante, de meio em meio, até cem. Se a pessoa conta de dez em dez, podemos afirmar que ela passou por todos os inteiros entre um e cem (ou passou sobre eles)? Ao contar por unidades, podemos afirmar que ela passou por todas as frações entre estas unidades? Não se hesitaria em responder que a pessoa contou, ou passou por, apenas aqueles números reais que ela de fato contou, quaisquer que fossem eles e que a pessoa não passou, na sua contagem, por números não contados. Da mesma forma, quando um homem corre de A para B, ele passa por aqueles pontos (ou rompe aquelas fitas) que foram isoladas, que foram nomeadas e por estes pontos somente, e o que quer que seja nomeado será um número finito de pontos, ainda que grande. O argumento de Zenão atinge seu fim confundindo a possibilidade física de movimento com a possibilidade lógica de nomear tantos pontos quanto quisermos.” (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 37-38)

Outro exemplo que Goodstein usa é o de traçar uma linha do ponto 0 ao ponto 1. Fazer isso é a mesma coisa que desenhar uma linha de 0 a 1/2, uma linha de 1/2 a 2/3, uma linha de 2/3 a 3/4 e assim por diante? A diferença entre as duas reside em que, na primeira, a operação realizada é de um só estágio, enquanto na segunda há uma operação infindável, pois nenhum último estágio é definido. O que Zenão propõe é afirmar que a primeira operação é a mesma que a segunda, ou seja, que uma operação acabada é idêntica a uma operação infindável, o que é paradoxal. (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 39) Qual seria o erro em pensar como Zenão?

A falácia estaria no uso ambíguo da expressão “uma linha é desenhada de um ponto A a um ponto B”. A expressão significa uma marcação física, um traço, ligando dois pontos, que pode ser realizada por meio de duas operações. Uma delas é desenhar o traço de 0 à 1, enquanto a segunda é desenhar traços sucessivos. O traço de 0 a 1 não consiste em traços de 0 a 1/2, de 1/2 a 2/3, etc., uma vez que a expressão “um traço de A a B” não significa uma sequência de traços, não denota etapas. (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 39-40)

Assim, Goodstein pensa que o paradoxo pode ser resolvido pela identificação de uma confusão entre o uso metafórico e o literal na expressão “movendo-se de um ponto a outro”:

a) Sentido literal: movimento é mudança das posições relativas de objetos físicos e um ponto é um objeto físico, de modo que o movimento de um ponto a outro passa por um número finito de pontos, objetos físicos isolados e especificados no caminho. Cada objeto será associado a um número. (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 40)

b) Sentido metafórico: o mesmo que “uma variável aumentando de um valor para outro”. Quando a variável “x” cresce de 0 a 1, passa pelos valores 1/2, 2/3, 3/4 e assim por diante, o que significa apenas que a função m/(m + 1) cresce com “m”, estando seus valores estipulados no intervalo de 0 a 1. Essa função crescente não significa a possibilidade do completamento de um processo infinito, mas sim que (m +1)/(m +2) excede m/(m+ 1) por 1/(m +1)(m+2), ou seja, que (m +1)/(m +2) = m(m +1) + 1/(m +1)(m +2), bem como que a unidade excede m/(m +1) por 1/(m +1), ou seja, que 1 = m/(m +1) + 1/(m +1). (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 40)

Referências:

CARNIELLI, Walter A.; EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, Funções Computáveis, Lógica e os Fundamentos da Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 2009.

GOODSTEIN, R. L. Constructive Formalism. In: CARNIELLI, Walter A.; EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, Funções Computáveis, Lógica e os Fundamentos da Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 2009. P. 35-40.

Sítio virtual do Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, dedicado ao paradoxo de Zenão relativo à Aquiles e a tartaruga –> http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/cantor/aquilestartaruga.htm

2 respostas em “Uma solução para o paradoxo de Zenão sem o uso de infinitos

  1. Pingback: Temas tratados no 1º ano do blog | Tabula (não) Rasa & Libertarianismo Bleeding Heart

  2. Em certa medida, a matemática é a abstração (a codificação) do que existe, do que ocorre. Da simples necessidade de contar, depois de multiplicar, de dividir, etc, do Homem, nasce a sofisticada disciplina da representação, através de símbolos, operações…

    Aquilo que é defendido por “con-fusão”, antes de ser o ponto indesejado e, se assim tomado, a “saída” sugerida para o paradoxo de Zenão, é justamente o contrário: Graças a possibilidade de abstração (ou, como citado, confusão), que é assentida inexoravelmente, é que a matemática encontra sua utilidade. Veja bem: ainda que a matemática não se atenha àquelas funções básicas, elas ali permanecem.

    Logo, o paradoxo de Zenão persiste firme e forte. Mas foi bastante importante e talvez o mais próximo que podemos chegar desta “bomba que continua implodindo há séculos” criada pelo filósofo.

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