O Universo é um almoço grátis?

Existe uma frase famosa, segundo a qual “não existe almoço grátis”. O economista Milton Friedman foi um dos mais importantes popularizadores dessa frase, tendo mesmo escrito um livro com esse título, “There’s No Such Thing as a Free Lunch“. Na verdade, além de ter contribuído à popularização da expressão, Friedman fez um importante trabalho de esclarecimento público, de como a veracidade dessa asserção “não existe almoço grátis” em economia impacta dramaticamente a maneira que visualizamos a política pública.

Friedman falava mesmo no “mito do almoço grátis”, segundo o qual o governo pode tributar, gastar, prover bens e serviços, como se não houvesse um custo envolvido nisso para as pessoas. Sobre o assunto, recomendo ver o vídeo abaixo:

Para dar um exemplo rápido de como isso afeta nossa percepção da política pública, o custo da tributação não é meramente o dinheiro cobrado dos contribuintes. Caso fosse, você poderia imaginar que tributar o capital de uma pessoa rica não teria nenhum efeito sobre as pessoas pobres, uma vez que o dinheiro cobrado vem apenas das pessoas ricas.

Entretanto, a tributação leva às chamadas “perdas por peso morto”, que é um custo medido em termos do número de transações mutuamente benéficas que foram evitadas por causa da imposição do imposto. No exemplo acima, isso significa que a imposição do tributo pode afetar as pessoas mais pobres, mesmo que, formalmente, sejam apenas os ricos que arquem com seus custos, uma vez que transações que poderiam beneficiar as pessoas mais pobres podem deixar de acontecer. (exemplo: menor criação de emprego)

Em termos formais, diz-se que “a perda por peso morto decorrente de um imposto seletivo ocorre porque ele evita a ocorrência de algumas transações mutuamente benéficas. Mais especificamente, o excedente do produtor e do consumidor que se deixa de ganhar porque essas transações foram perdidas é igual ao tamanho da própria perda por peso morto.” (KRUGMAN; WELL, p. 161). Visualize isso no gráfico abaixo:

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(gráfico extraído desse resumo sobre microeconomia, por Edmo Menini)

Dessa forma, vê-se que a noção de que não existe almoço grátis é plenamente válida para a economia e para a filosofia social em geral. Contudo, será esta noção válida para a física mais fundamental, para a cosmologia, envolvida com o mistério da criação do Universo?

Importantes cientistas estudam a questão, dentre eles Stephen Hawking.

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(imagem extraída deste link)

Em seu mais recente livro, em co-autoria com Leonard Mlodinow, “O Grande Projeto”, Stephen Hawking defende a criação espontânea do universo. Ao invés do universo ter sido criado por um Criador divino, ou por seres de outro universo, ou por autocausação em uma curva temporal fechada, a criação teria ocorrido “a partir de nada”, “sem causa”, pela mera probabilidade de sua ocorrência especificável por meio de leis físicas.

Uma das formas em que ele trabalha esta ideia reside na noção de “soma sobre as histórias de Feynman”, oriunda da física quântica.

“No experimento da dupla fenda, por exemplo, a história da partícula é simplesmente sua trajetória. Do mesmo modo que, para esse experimento, a chance de se observar a partícula cair em um dado ponto depende de todas as trajetórias que poderiam levá-la até lá, Feynman demonstrou que, para um sistema geral, a probabilidade de qualquer observação é construída a partir de todas as histórias que poderiam ter levado àquela observação. Devido a isso, esse método é denominado de ‘soma sobre as histórias’ ou de ‘histórias alternativas’ da física quântica.” (HAWKING, 2010, p. 60)

É importante enxergar aqui a natureza profundamente probabilística das leis de causação em um mundo concebido pelas lentes da teoria quântica:

“A física quântica poderia abalar a ideia de que a natureza é governada por leis, mas não é esse o caso. Antes, ela nos leva a aceitar uma nova forma de determinismo: dado o estado de um sistema em um certo instante, as leis naturais determinam as probabilidades de vários futuros e passados possíveis em vez de determinar o futuro e o passado com certeza. (…) As probabilidades nas teorias quânticas (…) refletem uma aleatoriedade fundamental na natureza. O modelo quântico da natureza incorpora princípios que contradizem não só nossa experiência diária, mas também nossa concepção intuitiva de realidade.” (HAWKING, 2010, p. 54)

Você pode lembrar, neste ponto, que mesmo Albert Einstein considerou as ideias desse campo bizarras demais. “Deus não joga dados com o mundo”, disse Einstein, ao que Bohr retrucou: “Não diga a Deus o que ele deve fazer”, conforme conta-se.

A teoria quântica (por razões que não será possível explicar aqui) trabalha principalmente com a estrutura em pequena escala da matéria, domínio em que a teoria da relatividade não é bem-sucedida.  Você pode imaginar: “o que o universo pode ter a ver com a teoria quântica, se o universo é tão grande?”. Eu responderia que você precisa lembrar que o Universo já foi muito, muito pequeno:

“se voltarmos o suficiente no tempo, o universo era tão pequeno quanto o comprimento de Planck, um bilionésimo de um trilionésimo de um trilionésimo de centímetro, uma escala na qual a teoria quântica tem que ser levada em conta. Assim, embora não tenhamos uma teoria quântica completa da gravidade, sabemos com certeza que a origem do universo foi um evento quântico.” (HAWKING, 2010, p. 97)

Assim, Hawking argumenta que a origem do universo, como evento quântico, seria descrita por meio do aparato teórico criado por Feynman:

“Se a origem do universo foi um evento quântico, ela deveria ser descrita acuradamente pela soma sobre as histórias de Feynman. (…) Aplicado ao movimento de um ponto final específico, deve-se considerar todas as possíveis histórias que a partícula poderia seguir desde seu ponto de partida até o ponto final. Pode-se também usar o método de Feynman para calcular as probabilidades quânticas de observações do universo. Se for aplicado ao universo como um todo, não existem em ponto A, e assim somamos todas as histórias que satisfazem à condição sem-contorno e terminam no universo como observado atualmente. Dentro desse quadro, o universo apareceu espontaneamente, começando de todo modo possível. A maior parte desses modos correspondente a outros universos.  (…) Alguns fazem um grande mistério com essa ideia, às vezes denominada conceito do multiverso, mas são apenas expressões distintas da soma sobre as histórias de Feynman” (HAWKING, 2010, p. 100)

Cabe observar aqui a menção que ele faz à “condição sem-contorno”. Esta é uma das principais contribuições  de Stephen Hawking à física teórica, que consiste na aplicação do conceito de “tempo imaginário” para explicar a emergência do tempo:

“O tempo imaginário parece algo saído da ficção científica, mas é um conceito matemático bem definido: o tempo medido nos denominados números imaginários. (…) A teoria da relatividade geral clássica (isto é, não quântica) de Einstein combinava tempo real e as três dimensões do espaço em um espaço-tempo quadridimensional. (…) Por outro lado, o tempo imaginário, por ser perpendicular ao tempo real, comporta-se como uma quarta dimensão espacial.” (HAWKING, 2009, p. 59-60)

A possibilidade do tempo imaginário na origem do universo é real:

“A percepção de que o tempo pode se comportar como outra dimensão do espaço implica que podemos nos livrar do problema do início do tempo, de um modo semelhante a como nos livramos do problema da borda do mundo. Suponha o início do universo como o polo sul da Terra, com os graus de latitude desempenhando o papel do tempo. Movendo-se rumo ao norte, os círculos de latitude representando o tamanho do universo, expandem-se. O universo começaria como um ponto no polo sul, mas o polo sul é um ponto como qualquer outro. Perguntar o que acontecia antes do início do universo se tornaria uma questão sem sentido, porque não há nada ao sul do polo sul. Nesse cenário, o espaço-tempo não tem contorno – as mesmas leis aplicam-se ao polo sul assim como a outros lugares. De um modo análogo, quando se combina a teoria da relatividade geral com a teoria quântica, a questão do que acontecia antes do início do universo perde o sentido. A ideia de que histórias poderiam ser superfícies fechadas sem contorno é a chamada condição sem-contorno” (HAWKING, 2010, p. 99-100)

Contudo, mais para o final do livro, você pode ver outro raciocínio interessante  sendo utilizado para defender a ideia de criação do universo a partir de nada. O universo pode exigir nenhuma energia para ser criado, desde que a energia positiva de toda a matéria do universo seja anulada pela energia negativa da gravidade:

“Se a energia total do universo deve permanecer nula, e se é necessário energia para criar um corpo, como todo um universo pode ter sido criado no nada? É por esse motivo que deve haver uma lei como a da gravidade. Como a gravidade é atrativa, a energia gravitacional é negativa: é preciso um grande trabalho para separar um sistema gravitacionalmente ligado, tal como a Terra e a Lua. Essa energia negativa pode balancear a energia positiva necessária para criar matéria, mas não é tão simples. A energia gravitacional da Terra, por exemplo, é menos do que um bilionésimo da energia positiva das partículas que a compõem. Um corpo como uma estrela terá mais energia gravitacional negativa, e, quanto menor ele for (e mais próximas suas partes estiverem uma das outras), maior será sua energia gravitacional negativa. Mas, antes que ela possa se tornar maior que a energia positiva da matéria, a estrela colapsará num buraco negro, e buracos negros têm energia positiva. É por isso que o espaço vazio é estável. Corpos como estrelas e buracos negros não podem simplesmente aparecer do nada. Mas todo um universo pode.” (HAWKING, 2010, p. 132)

Isso porque:

“Visto que a gravidade molda o espaço e o tempo, ela permite que o espaço-tempo seja localmente estável, mas globalmente instável. Na escala do universo como um todo, a energia positiva da matéria pode ser balanceada pela energia gravitacional negativa, e assim não há restrição à criação de universos inteiros. Devido ao fato de existir uma lei como a da gravidade, o universo pode e criará a si mesmo do nada do modo descrito no Capítulo 6. Criação espontânea é a razão por que há algo em vez de nada, por que existe o universo, por que existimos.” (HAWKING, 2010, p. 132)

Você pode encontrar o mesmo raciocínio sendo explicado pelo Michio Kaku, de forma bem direta, no vídeo abaixo, dos 3:51 em diante:

É importante perceber que, apesar de ser muito contra-intuitivo, essa relação deve ser enxergada em termos de uma fórmula matemática. Isso é que faz ter sentido atribuir à energia gravitacional a característica de ser “negativa”, e que faz ter sentido dizer que a soma dessa energia negativa com a energia positiva da matéria é zero (basta pensar que a soma de dois números iguais, com sinais diferentes, resulta em zero). Esse tipo de compreensão pode escapar ao nosso modo de pensar ordinário, mas não à nossa matemática.

Por isso mesmo que, na excelente palestra do vídeo abaixo sobre a relação entre física e matemática, Feynman comenta que os divulgadores científicos sempre encontrarão barreiras na hora de traduzir a matemática da teoria física em um vocabulário não-matemático, uma vez que matemática não é apenas uma linguagem, mas sim “linguagem + raciocínio”, “linguagem + lógica”:

Nesse sentido, o universo pode ser, de fato, um almoço grátis. A existência do universo seria gratuita, o universo teria sido criado “de graça”, sem o dispêndio de nenhuma energia, e, portanto, a partir de nada. Mesmo que nada dentro dela seja um almoço grátis, a realidade considerada globalmente o é.

Realmente, não é à toa que a ciência é a “poesia da realidade”, ao possibilitar conjecturas tão extraordinárias, mas ancoradas em um método robusto e sistemático de explicação da natureza, com amplo sucesso preditivo. Talvez você até mesmo sinta vontade de cantar à “poesia da realidade”, como no vídeo abaixo?

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Uma solução para o paradoxo de Zenão sem o uso de infinitos

Aqui apresentarei o paradoxo de Zenão, e uma solução para o mesmo proposta por R. L. Goodstein, na introdução do seu livro “Constructive Formalism“. Eu não tive acesso a uma visualização completa deste livro, mas o trecho em que ele apresenta referida solução está transcrito integralmente em um livro que tenho, de nome “Computabilidade, Funções Computáveis, Lógica e os Fundamentos da Matemática“, por Walter Carnielli e Richard L. Epstein.

Um dos paradoxos de Zenão envolve Aquiles e a tartaruga: se Aquiles competir em uma corrida com uma tartaruga e sendo que a tartaruga começa na frente, Aquiles nunca alcançará a tartaruga, não importa quão rápido ele corra ou devagar que a tartaruga rasteje, uma vez que “quando Aquiles chega na posição inicial da tartaruga, ela terá avançado um pouco; quando Aquiles cobrir esta distância, a tartaruga terá ido um pouco mais adiante e assim indefinidamente, de tal forma que Aquiles nunca alcança a tartaruga” (CARNIELLI; EPSTEIN, p. 25-26). Logo, o movimento é impossível se espaço e tempo forem infinitamente divisíveis (CARNIELLI; EPSTEIN, p. 26)

Abaixo uma imagem para visualizar isso melhor:

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(retirado do sítio virtual do Instituto de Educação da Universidade de Lisboa)

Você também pode conceber o que esse paradoxo traz à tona como o seguinte: Entre dois pontos, A e B, existe uma certa distância. Digamos que esta fosse de 10 metros. Para você alcançar os 10 metros, você tem de passar pela metade dessa distância, 5 metros. Só que, para percorrer dos 5 metros para os 10 metros, você tem de passar pela metade dessa distância, 2 metros e 50 centímetros. Mas novamente, você teria de percorrer metade… Se você quiser ir calculando de metade para metade da distância, você logo verá que existem infinitos pontos que irão se configurar como “metade da distância”. Então, por mais que ele se mova para cada vez mais perto de B, ele nunca atinge B.

Goodstein coloca isso de maneira mais precisa: “passando de uma posição A para uma outra B, um corpo deve passar por um ponto central A1 de AB, e então pelo ponto central A2 de A1B, e então pelo ponto central de A3 de A2B e assim por diante. Assim o movimento de A a B pode ser considerado como consistindo de um número ilimitado (infinito) de estágios, a saber, o estágio de atingir A1, o estágio de atingir A2, o estágio de atingir A3 e assim por diante. Depois de qualquer estágio An segue o estágio An+1 e, não importa por quantos estágios passemos, não atingimos B e assim nunca atingimos B. Mas se o movimento de um ponto A para qualquer ponto B não é possível, então nenhum movimento é possível” (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 37)

Você pode solucionar este paradoxo por intermédio do cálculo em termos de limite, mas isso irá envolver noções de infinito (CARNIELLI; EPSTEIN, p. 26-27). Goodstein tem uma interessante solução que não envolve infinitos, mas que trabalha com a confusão relacionada à expressão “mover-se de um ponto para outro”.

Primeiro, Goodstein afirma que “um processo infinito é, por definição, um processo no qual cada estágio é seguido por outro, tal qual cada numeral é seguido por outro (…). Um processo infinito é, portanto, um processo infindável, um processo que não permite a possibilidade de ser completado. Um processo infinito completado é uma contradição em termos (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 37). Por conta disso, Goodstein não aceita que o processo de ir de A para B seja um processo infinito completado.

Ele dá um exemplo de como a experiência familiar dos corpos físicos mudando de posição é diferente daquilo descrito por Zenão, uma vez que, se quisermos destacar pontos no caminho por meio de algum objeto, não o faremos infinitamente, mas sim pontos em quantidade finita:

“Imagine um homem correndo ao longo de uma pista de corrida, através da qual fitas são enfileiradas a pouca distância do chão. Podemos supor que a pista tem 1000 metros e que começamos a enfileirar as fitas na marca dos 500 metros. Se chamamos os extremos da pista de A, B e a marca dos 500 metros de A1 , então A2 é o ponto central de A1B, e assim por diante, como mencionado acima. Em cada um dos pontos A1, A2, A3 , … uma fita é colocada cruzando a pista. Conforme o homem correr de A para B, ele romperá todas as fitas colocadas e se supusermos que uma fita foi posta em cada um dos pontos de A1, A2, A3 , … então o corredor terá rompido um número infinito de fitas. Argumentando desta forma teremos apenas apresentado a dificuldade sob uma luz mais óbvia, já que nos confrontamos com a tarefa de colocar um número ilimitado de fitas, ou, vendo sobre um outro ponto de vista, de isolar um número ilimitado de pontos (….)

‘Ao contar de 0 a 100, uma pessoa pode dizer todos os números naturais neste intervalo, ou apenas de dez em dez, ou ainda apenas “cinquenta”, “cem”, ou pode dizer “meio, um, um e meio, dois”, e assim por diante, de meio em meio, até cem. Se a pessoa conta de dez em dez, podemos afirmar que ela passou por todos os inteiros entre um e cem (ou passou sobre eles)? Ao contar por unidades, podemos afirmar que ela passou por todas as frações entre estas unidades? Não se hesitaria em responder que a pessoa contou, ou passou por, apenas aqueles números reais que ela de fato contou, quaisquer que fossem eles e que a pessoa não passou, na sua contagem, por números não contados. Da mesma forma, quando um homem corre de A para B, ele passa por aqueles pontos (ou rompe aquelas fitas) que foram isoladas, que foram nomeadas e por estes pontos somente, e o que quer que seja nomeado será um número finito de pontos, ainda que grande. O argumento de Zenão atinge seu fim confundindo a possibilidade física de movimento com a possibilidade lógica de nomear tantos pontos quanto quisermos.” (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 37-38)

Outro exemplo que Goodstein usa é o de traçar uma linha do ponto 0 ao ponto 1. Fazer isso é a mesma coisa que desenhar uma linha de 0 a 1/2, uma linha de 1/2 a 2/3, uma linha de 2/3 a 3/4 e assim por diante? A diferença entre as duas reside em que, na primeira, a operação realizada é de um só estágio, enquanto na segunda há uma operação infindável, pois nenhum último estágio é definido. O que Zenão propõe é afirmar que a primeira operação é a mesma que a segunda, ou seja, que uma operação acabada é idêntica a uma operação infindável, o que é paradoxal. (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 39) Qual seria o erro em pensar como Zenão?

A falácia estaria no uso ambíguo da expressão “uma linha é desenhada de um ponto A a um ponto B”. A expressão significa uma marcação física, um traço, ligando dois pontos, que pode ser realizada por meio de duas operações. Uma delas é desenhar o traço de 0 à 1, enquanto a segunda é desenhar traços sucessivos. O traço de 0 a 1 não consiste em traços de 0 a 1/2, de 1/2 a 2/3, etc., uma vez que a expressão “um traço de A a B” não significa uma sequência de traços, não denota etapas. (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 39-40)

Assim, Goodstein pensa que o paradoxo pode ser resolvido pela identificação de uma confusão entre o uso metafórico e o literal na expressão “movendo-se de um ponto a outro”:

a) Sentido literal: movimento é mudança das posições relativas de objetos físicos e um ponto é um objeto físico, de modo que o movimento de um ponto a outro passa por um número finito de pontos, objetos físicos isolados e especificados no caminho. Cada objeto será associado a um número. (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 40)

b) Sentido metafórico: o mesmo que “uma variável aumentando de um valor para outro”. Quando a variável “x” cresce de 0 a 1, passa pelos valores 1/2, 2/3, 3/4 e assim por diante, o que significa apenas que a função m/(m + 1) cresce com “m”, estando seus valores estipulados no intervalo de 0 a 1. Essa função crescente não significa a possibilidade do completamento de um processo infinito, mas sim que (m +1)/(m +2) excede m/(m+ 1) por 1/(m +1)(m+2), ou seja, que (m +1)/(m +2) = m(m +1) + 1/(m +1)(m +2), bem como que a unidade excede m/(m +1) por 1/(m +1), ou seja, que 1 = m/(m +1) + 1/(m +1). (GOODSTEIN in: CARNIELLI; EPSTEIN, p. 40)

Referências:

CARNIELLI, Walter A.; EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, Funções Computáveis, Lógica e os Fundamentos da Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 2009.

GOODSTEIN, R. L. Constructive Formalism. In: CARNIELLI, Walter A.; EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, Funções Computáveis, Lógica e os Fundamentos da Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 2009. P. 35-40.

Sítio virtual do Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, dedicado ao paradoxo de Zenão relativo à Aquiles e a tartaruga –> http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/cantor/aquilestartaruga.htm